электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля

Формула изобретения

Электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля, содержащая главные полюсы, дополнительные полюсы, наконечники которых выполнены со скосом в тангенциальном направлении с обмотками, подключенными к выходам усилителей, подающих питание на обмотки возбуждения дополнительных полюсов, датчик частоты вращения якоря, датчик тока якоря, датчик тока возбуждения главных полюсов, датчик наличия тока в цепи возбуждения главных полюсов, подключенный к входу блока синхронизации, три выхода которого соединены с четвертым, пятым и шестым входами блока расчета, первый, второй и третий входы которого соединены с выходами датчика тока якоря, датчика частоты вращения якоря и датчика тока возбуждения главных полюсов, а выходы соединены с сигнальными входами усилителей, отличающаяся тем, что блок расчета выполнен с возможностью реализации дополнительной функции вычисления трансформаторной ЭДС по формуле



и ее компенсации вместе с реактивной ЭДС и ЭДС, наводимой в коммутационной зоне полем главных полюсов,

где W_с - число витков секции якорной обмотки;

_н - номинальный поток главных полюсов;

производная по времени относительного значения потока главных полюсов.

Описание изобретения к патенту

Изобретение относится к электротехнике и может быть использовано в коллекторных электрических машинах постоянного тока с дополнительными полюсами и компенсационной обмоткой.

Известна машина постоянного тока [1] с дополнительными полюсами, в центре полюсных наконечников которых предусмотрен аксиальный паз, позволяющий смонтировать две дополнительные независимые компенсационные обмотки, охватывающие обе части полюсного наконечника и обеспечивающие безыскровую коммутацию машины постоянного тока. Система регулирования тока компенсационных обмоток включает две дополнительные щетки, расположенные по обе стороны каждой щетки машины постоянного тока и охватывающие коммутационную зону коллектора, датчики тока якоря и частоты вращения машины постоянного тока, множительное устройство, блоки сравнения, блоки выдержки времени, генераторы стробирующих импульсов, тиристорные усилители с системой управления и источник питания. При протекании тока по компенсационным обмоткам дополнительных полюсов создаются м.д.с., обеспечивающие коммутирующую ЭДС, соответствующую форме волны реактивной ЭДС коммутирующей секции обмотки якоря в период коммутации при любом токе якоря и любой частоте вращения машины постоянного тока.

Недостатком известной машины [1] является то, что в режимах, когда характер коммутации практически полностью определяется полем главных полюсов (режим, близкий к холостому ходу или начало пуска), такая машина не может обеспечить удовлетворительной коммутации, так как коммутирующее поле машины компенсирует только реактивную ЭДС, которая в указанных режимах незначительна. Кроме того, работа системы регулирования тока компенсационных обмоток дополнительных полюсов основана на информации о напряжении между коллекторными пластинами, поступающей с дополнительных щеток. Установка таких щеток в промышленных условиях трудоемка, а надежность их мала.

Известна также коллекторная электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля [2], содержащая главные полюса, дополнительные полюса, наконечники которых выполнены со скосом в тангенциальном направлении, а обмотки возбуждения дополнительных полюсов получают подпитку от усилителей, управляемых специальной системой управления, датчик скорости изменения тока якоря, датчики скорости изменения коммутирующего и главного потоков и датчик частоты вращения якоря.

Устройство формирования коммутирующего поля коллекторной машины [2] позволяет, увеличивая ток, протекающий по обмоткам возбуждения группы дополнительных полюсов одной полярности (сбегающий край наконечников которых имеет меньший воздушный зазор, а набегающий край - больший воздушный зазор) и уменьшая ток, протекающий по обмоткам возбуждения группы дополнительных полюсов другой полярности (сбегающий край наконечников которых имеет больший, а набегающий край - меньший воздушный зазор), компенсировать несимметрию реактивной ЭДС относительно середины коммутационной зоны, вызванную коммутационными вихревыми токами, а также трансформаторную ЭДС.

Недостатком известной машины является следующее. Обмотки возбуждения дополнительных полюсов коллекторной электрической машины с устройством формирования коммутирующего поля включены последовательно с обмоткой якоря. При этом коммутирующая ЭДС пропорциональна току якоря и частоте вращения якоря и компенсирует реактивную ЭДС, тогда как в режимах, близких к холостому ходу (ток якоря незначителен) или в начале пуска (частота вращения якоря мала) коммутирующая ЭДС и реактивная ЭДС незначительны и характер коммутации практически полностью определяется ЭДС, наводимой полем главных полюсов. В двигательном режиме это поле замедляет коммутацию, в генераторном режиме ускоряет ее. Влияние поля главных полюсов на коммутацию оказывается столь значительным, что может возникнуть необходимость уже в процессе наладки готовой машины уменьшать зону коммутации при соответствующей корректировке воздушного зазора под дополнительными полюсами [3]. Сужение коммутационной зоны ухудшает технико-экономические показатели машины. Уменьшается коэффициент полюсного перекрытия, следовательно, ухудшается использование окружности якоря, при тех же геометрических размерах мощность машины уменьшается. Кроме того, корректировка воздушного зазора под дополнительными полюсами без разборки машины возможна только в случае применения специальных технических решений [4, 5].

Наиболее близкой по технической сущности к заявляемой электрической машине постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля является выбранная в качестве прототипа электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля [6], содержащая главные полюсы, дополнительные полюсы, наконечники которых выполнены со скосом в тангенциальном направлении, с обмотками, подключенными к выходам усилителей, входы которых соединены с выходами блока расчета; датчик частоты вращения якоря, соединенный с первым входом блока расчета; датчик тока возбуждения, блок синхронизации и датчик наличия тока в цепи возбуждения главных полюсов, выход которого соединен со входом блока синхронизации, три выхода которого соединены со вторым, третьим и четвертым входами блока расчета, пятый и шестой входы которого соединены с выходами датчиков тока возбуждения главных полюсов и тока якоря.

Устройство формирования коммутирующего поля известной электрической машины [6] позволяет в любом режиме работы компенсировать ЭДС e_r, наводимую в коммутационной зоне полем главных полюсов, и реактивную ЭДС e_p путем создания коммутирующего поля нужной формы за счет подбора коэффициентов усиления q1 и q2 для усилителей, питающих обмотки возбуждения групп дополнительных полюсов, точечным способом наименьших квадратов, который обеспечивает оптимальную компенсацию (e_p + e_r) в зоне коммутации.

Известная машина [6] имеет следующий недостаток.

Нелинейность изменения реактивной ЭДС в зависимости от частоты вращения якоря, связанная с демпфирующим действием вихревых токов [7,8], реализуется на сложном функциональном преобразователе. При формировании управляющих сигналов не учитывается трансформаторная ЭДС.

Целью изобретения является улучшение коммутации в любом динамическом режиме работы машины постоянного тока за счет формирования коммутирующего поля, компенсирующего и реактивную ЭДС, и ЭДС, наводимую в зоне коммутации полем главных полюсов, и трансформаторную ЭДС путем подбора оптимальных коэффициентов усиления q1 и q2.

Указанная цель достигается тем, что электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля, содержащая главные полюсы, дополнительные полюсы, наконечники которых выполнены со скосом в тангенциальном направлении, с обмотками, подключенными к выходам усилителей; датчик частоты вращения якоря; датчик тока якоря; датчик тока возбуждения; датчик наличия тока в цепи возбуждения главных полюсов, соединенный с блоком синхронизации, снабжена блоком расчета, первый, второй и третий входы которого соединены с выходами датчика тока главных полюсов, датчика частоты вращения якоря, датчика тока якоря; четвертый, пятый и шестой входы блока расчета соединены с выходами блока синхронизации; выходы блока расчета соединены с сигнальными входами усилителей, подающих питание на обмотки возбуждения дополнительных полюсов.

Сопоставительный анализ с прототипом показывает, что заявляемая электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля отличается новой реализацией блока расчета.

Таким образом, заявляемая электрическая машина с устройством формирования коммутирующего поля соответствует критерию изобретения "новизна".

Признаки, отличающие заявляемое техническое решение от прототипа, не выявлены в других технических решениях, следовательно, обеспечивают заявляемому решению соответствие критерию "существенные отличия". На фиг. 1 показана схема подключения машины к управляющим элементам; на фиг. 2 - базовые кривые: реактивной ЭДС (1), соответствующие оптимально ускоренной коммутации, ЭДС, наводимой полем главных полюсов (2), ЭДС, наводимой под каждым дополнительным полюсом одной (3) и другой (4) полярности, результирующая коммутирующая ЭДС (5); на фиг. 3 - блок-схема блока расчета; на фиг. 4 - цикл работы устройства формирования коммутирующего поля предлагаемой машины; на фиг. 5 - графики реактивной ЭДС (1), ЭДС, наводимой полем главных полюсов в зоне коммутации (2), трансформаторной ЭДС (3), коммутирующей ЭДС прототипа (4), коммутирующей ЭДС предлагаемой машины (5), нескомпенсированной ЭДС прототипа (6), нескомпенсированной ЭДС предлагаемой машины (7) для начала переходного процесса с основной скорости на максимальную при ослаблении основного потока.

Устройство формирования коммутирующего поля предлагаемой электрической машины постоянного тока (фиг. 1) содержит датчик 1 тока якоря 2, датчик 3 частоты вращения якоря, датчик 4 тока возбуждения главных полюсов, выходы которых подключены к первому, второму и третьему входам блока 5 расчета. Кроме того, устройство содержит датчик 6 наличия тока в цепи возбуждения главных полюсов, выход которого соединен со входом блока 7 синхронизации, три выхода которого соединены с четвертым, пятым и шестым входами блока 5 расчета, выходы которого соединены с сигнальными входами линейных тиристорных усилителей 8 и 9, подающих питание на независимые обмотки возбуждения дополнительных полюсов 10 и 11.

Задачей устройства формирования коммутирующего поля предлагаемой машины постоянного тока является обеспечение коэффициентов усиления q1 и q2 для усилителей 8 и 9 такой величины, чтобы коммутирующая ЭДС

e_k(t) = q1(t)e^*_k1(t) + q2(t)e^*_k2(t)

как можно лучше компенсировала суммарную ЭДС [e_p(t) + e_г(t) + e_т(t)]. Здесь e^*_k1(t) и e^*_k2(t) - базовые ЭДС, наводимые под каждым дополнительным полюсом каждой полярности при q₁ = q₂ = 0,5, в алгебраической сумме составляющие коммутирующую ЭДС e^*_k(t), амплитуда которой равна амплитуде базовой реактивной ЭДС e^*_p(t) при оптимально ускоренной коммутации (фиг. 2), e_т - трансформаторная ЭДС. За базовый принят режим работы машины постоянного тока на номинальной скорости _н, при номинальном токе якоря I_н и номинальном токе возбуждения главных полюсов i_н. Этому режиму соответствует ЭДС e^*_г(t) (фиг. 2), наводимая полем главных полюсов в коммутационной зоне в номинальном режиме работы, T - период коммутации; e_p(t) и e_г(t) - реактивная ЭДС и ЭДС, наводимая полем главных полюсов текущем режиме работы, = p(p - число пар полюсов).

Методика расчета коэффициентов q1 и q2 предлагаемой машины аналогична соответствующей методике расчета прототипа.

Нужно рассчитать такие q1 и q2, чтобы ЭДС e_k(t) = q1e^*_k1(t) + q2e^*_k2(t) компенсировала суммарную ЭДС [e_p(t) + e_г(t) + e_т(t)]. в текущем режиме работы машины постоянного тока, имеющего параметры:

I^* - относительное значение тока якоря в текущем режиме, ^* - относительное значение скорости вращения якоря в текущем режиме, i^* - относительное значение тока возбуждения главных полюсов в текущем режиме.

Поставленная задача решается путем точечного квадратичного аппроксимирования [9] заданной функции E(t) = e_p(t) + e_г(t) + e_т(t) полиномом Q = q1e^*_k1(t) + q2e^*_k2(t), где e_г(t) = e^*_г(t)P1, e_p(t) = e^*_р(t)P2 - ЭДС, наводимая полем главных полюсов в зоне коммутации и реактивная ЭДС для режима с параметрами P1 = I^** и P2 = ^**, где ^* - относительное значение потока главных полюсов, рассчитываемое по кривой намагничивания ^*(i^*).

По точечному методу наименьших квадратов за меру отклонения полинома Q(t) от функции E(t) принимают величину



равную сумме квадратов отклонений полинома Q(t) от функции E(t) на заданной системе точек. Задача сводится к минимизации S методом подбора q1 и q2, удовлетворяющих этому условию, для чего находят частные производные dS/dq1 и dS/dq2. Приравнивая эти частные производные нулю, получают систему уравнений с двумя неизвестными q1 и q2:



Здесь e^*_k1j, e^*_k2j, E_j, - значения функций e^*_k1(t), e^*_k2(t), Ef(t) для j-й точки из системы, состоящих из n точек, равномерно распределенных по ширине коммутационной зоны.

После раскрытия скобок и перенесения свободных членов в правые части уравнений (2) преобразуется к виду:



Таким образом, расчет коэффициентов усиления сводится к решению системы уравнений вида:



где





постоянные величины для данной машины, а



и



коэффициенты, зависящие от режима работы.

Главный определитель системы (4)



также является постоянной величиной для данной машины, а вспомогательные определители





это коэффициенты, зависящие от режима ее работы. Коэффициенты q1 и q2 рассчитываются по формулам:

q1 = D₁/D, (12)

q2 = D₂/D. (13)

Блок 5 расчета (фиг. 3) включает в себя блоки деления 12, 13 и 14, первые входы которых соединены с выходами датчиков 4, 3 и 1 соответственно, а на вторые входы поступают сигналы, соответствующие номинальным значениям тока возбуждения главных полюсов i_н, частоты вращения якоря _н и тока якоря I_н соответственно.

С выхода блока деления 12 сигнал, соответствующий относительному значению тока возбуждения главных полюсов i^*, поступает на функциональный преобразователь 15, реализующий кривую намагничивания в относительных единицах ^*(i^*). С выхода блока 15 сигнал, соответствующий относительному значению потока главных полюсов ^*, поступает на первый вход блока умножения 16, ко второму входу которого подсоединен выход блока деления 13, на котором формируется сигнал, соответствующий относительному значению скорости вращения якоря ^*. Этот сигнал поступает также на первый вход блока умножения 17, на второй вход которого с выхода блока деления 14 поступает сигнал, соответствующий относительному значению тока якоря I^*.

С выхода блока умножения 17 сигнал, соответствующий первому параметру режима работы машины постоянного тока P1 = ^*I^*, подается на первый вход блока 18 хранения параметров режима, второй вход которого соединен с первым выходом блока синхронизации 7 (фиг. 1). На третий вход блока 18 с выхода блока умножения 16 поступает сигнал, соответствующий второму параметру режима P2 = ^**.

Выход функционального преобразователя 15 соединен со входом блока 19 дифференцирования по времени, с выхода которого сигнал, соответствующий производной по времени относительного значения потока главных полюсов d^*/dt, поступает на первый вход блока умножения 20, на второй вход которого подается постоянный сигнал, соответствующий произведению констант W_с и _н, взятому с отрицательным знаком. Здесь W_с - число витков секции якорной обмотки, _н - номинальный поток главных полюсов. С выхода блока умножения 20 сигнал, соответствующий трансформаторной ЭДС e_т = -W_cнd^*/dt, поступает на первый вход сумматора 21.

С первого выхода блока 18 сигнал, соответствующий первому параметру режима P1 = I^**, поступает на первый вход блока умножения 22, второй вход которого соединен с первым выходом блока 23 задания базовых полей, на котором формируется сигнал, соответствующий базовой реактивной ЭДС e^*_рj. С выхода блока умножения 22 сигнал, соответствующий реактивной ЭДС текущего режима e_pj = P1e^*_pj, поступает на второй вход сумматора 21, выход которого соединен с первым входом сумматора 25.

Вход блока 23 подключен ко второму выходу блока синхронизации 7 (фиг. 1).

Со второго выхода блока 18 хранения параметров режима сигнал, соответствующий второму параметру P2 = ^**, поступает на первый вход блока умножения 24, на второй вход которого со второго выхода блока 23 подается сигнал, соответствующий базовой ЭДС e_гj, наводимой полем главных полюсов в зоне коммутации. С выхода блока умножения 24 на второй вход сумматора 25 подается сигнал, соответствующий текущей ЭДС e_гj = e^*_гjP2, наводимой в коммутационной зоне полем главных полюсов в текущем режиме работы машины.

На выходе сумматора 25 формируется сигнал, соответствующий суммарной ЭДС E_j = e_т + e_рj + e_гj. Этот выход соединен с первыми входами блоков умножения 26 и 27, на вторые входы которых с третьего и четвертого выходов блока 23 поступают сигналы, адекватные базовым ЭДС e_k1j и e_k2j, соответственно.

Выход блока умножения 26 соединен с первым входом интегратора 28, выход которого подключен к первому входу блока 29 хранения коэффициентов C₁ и C₂.

Выход блока умножения 27 соединен с первым входом интегратора 30, выход которого подключен ко второму входу блока 29 хранения коэффициентов C₁ и C₂, третий вход которого соединен с третьим выходом блока синхронизации 7 (фиг. 1).

Вторые (обнуляющие) входы интеграторов 28 и 30 соединены с первым выходом блока синхронизации 7 (фиг. 1).

С первого выхода блока 29 сигнал, адекватный коэффициенту C₁(7), поступает на первые входы блоков умножения 31 и 32, на вторые входы которых подаются постоянные сигналы, адекватные константам A(5) и B(6), соответственно, а выходы соединены с первыми входами сумматоров 33 и 34, соответственно.

Со второго выхода блока 29 сигнал, адекватный коэффициенту C₂ (8), поступает на первые входы блоков умножения 35 и 36, на вторые входы которых подаются постоянные сигналы, адекватные константам A(5) и B(6), соответственно, а выходы соединены со вторыми входами сумматоров 34 и 33, соответственно.

С выхода сумматора 33 сигнал, соответствующий коэффициенту D₁ (10), поступает на первый вход блока деления 37, на второй вход которого подается постоянный сигнал, соответствующий константе D(9), а с выхода сигнал, соответствующий управляющему сигналу q1(12), поступает на первый вход блока хранения управляющих сигналов 38.

С выхода сумматора 34 сигнал, соответствующий коэффициенту D2(11), поступает на первый вход блока деления 39, на второй вход которого подается постоянный сигнал, соответствующий константе D(9), а с выхода сигнал, соответствующий управляющему сигналу q2(13), поступает на второй вход блока хранения управляющих сигналов 38, третий вход которого соединен с первым выходом блока синхронизации 7 (фиг. 1).

Предлагаемая электрическая машина постоянного тока с устройством формирования коммутирующего поля работает следующим образом. При наличии тока в цепи обмотки возбуждения главных полюсов блок 7 синхронизации выдает управляющие сигналы в соответствии с временной диаграммой фиг. 4. По импульсу последовательности ₁, получаемой на первом выходе блока 7, параметры режима P1 и P2 фиксируются в блоке 17 до поступления следующего импульса этой последовательности, т. е. на весь цикл T_у работы устройства. По этому же импульсу последовательности ₁ обнуляются интеграторы 28 и 30, а рассчитанные в предыдущем цикле значения q1 и q2 фиксируются в блоке хранения сигналов 38 (до поступления следующего импульса последовательности 1, т.е. на весь цикл расчета T_ц новых q1 и q2 информация в блоке 38 не изменяется, на выходах блока 38 - неизменные q1 и q2).

С приходом j-го импульса последовательности ₂ на вход блока 23 на соответствующих выходах этого блока появляются сигналы, соответствующие e^*_pj, e^*_гj, e^*_k1j и e^*_k2j. Блок 24 производит коррекцию ЭДС, наводимой полем главных полюсов по потоку возбуждения главных полюсов и частоте вращения якоря (параметр P1). Блок 22 корректирует реактивную ЭДС по частоте вращения и току якоря (параметр P2). На выходе сумматора 25 получается алгебраическая сумма (e_рj + e_гj + e_т), на выходе блока умножения 26 - произведение (e_pj + e_гj + e_т)e^*_k1j, на выходе блока умножения 27 - произведение (e_pj + e_гj + e_т)e^*_k2j. На выходе интегратора 28 формируется сигнал, соответствующий сумме:



на выходе интегратора 30 формируется сигнал, соответствующий сумме:



Если j < n, то накопление сумм на интеграторах 28 и 30 продолжается. Если j = n, то на выходах интеграторов 28 и 30 будут иметь место сигналы, соответствующие коэффициентам C₁ (7) и C₂ (8), которые по импульсу последовательности ₃ будут зафиксированы в блоке 29 хранения коэффициентов C₁ и C₂ до следующего импульса этой последовательности и поступят в выходную часть блока расчета (блоки 31 и 39). В блоках 31 - 39 реализуется вычисление коэффициентов D₁, D₂ и сигналов q₁ и q₂. Сигнал на выходе сумматора 33 соответствует коэффициенту D₁; сигнал на выходе сумматора 34 - коэффициенту D₂; сигнал на выходе блока деления 37 - коэффициенту q₁; сигнал на выходе блока 39 - коэффициенту q₂. Расчет новых q₁ и q₂ завершен. По импульсу последовательности ₁, т.е. в начале следующего цикла расчетов, определенные в данном цикле значения q₁ и q₂ фиксируются в блоке 38 и поступают с его выходов на сигнальные входы линейных тиристорных усилителей 8 и 9 (фиг. 1) до начала следующего цикла расчетов.

Блок 5 расчета вместе с блоком 7 синхронизации может быть реализован на базе управляющей вычислительной машины. При этом сигналы с датчиков поступают в управляющую вычислительную машину через аналого-цифровые преобразователи. Блок задания базовых полей реализуется при этом в виде совокупности массивов чисел размерностью n каждый в памяти управляющей вычислительной машины. Там же хранятся коэффициенты i_н, _н, I_н, A, B, D и кривая намагничивания ^* (i^*). Рассчитанные в управляющей вычислительной машине коды сигналов q₁ и q₂ подаются на цифро-аналоговые преобразователи. Соответствующие этим кодам аналоговые сигналы поступают на входы линейных тиристорных усилителей, подающих питание на независимые обмотки возбуждения дополнительных полюсов. При этом управляющая вычислительная машина работает только при наличии сигнала с датчика наличия тока в цепи возбуждения главных полюсов, который может быть реализован с оптронной парой. Длительность цикла расчета определяется частотной полосой коммутационных процессов в машине постоянного тока. Исследования заявляемой машины показали, что по сравнению с прототипом она обеспечивает более точную компенсацию не только реактивной ЭДС и ЭДС, индуктируемой в зоне коммутации полем главных полюсов, но и компенсацию трансформаторной ЭДС в режимах работы с быстрым изменением поля. Так, при регулировании скорости с основной скорости до максимальной предлагаемая электрическая машина позволяет осуществлять форсировку тока главных полюсов без ухудшения коммутационных условий: нескомпенсированная ЭДС предлагаемой машины в начале процесса перехода с основной скорости на максимальную ослаблением основного потока изменяется в диапазоне: -0,8 - +0,8 В, тогда как прототип в аналогичном режиме обеспечивает нескомпенсированную ЭДС в диапазоне: +0,3 - 2,4 В.

В случае многополюсной машины тиристорные усилители, подающие питание на обмотки возбуждения дополнительных полюсов, подключаются параллельно каждой группе катушек дополнительных полюсов, соединенных последовательно друг с другом, аналогичной группе катушек дополнительных полюсов прототипа.

Источники информации

1. Заявка Японии N 57-85672, H 02 K 23/18, 1982.

2. А.с. СССР N 1506501, H 02 K 13/14, 1989, БИ, N 33.

3. Калиниченко С.П., Шофул В.К. Влияние главного поля на искрение набегающего края щеток в машине постоянного тока. - Техническая электродинамика, 1988, N 1, с. 105 - 106.

4. А.с.СССР N 1153375, H 02 K 1/10, 1985, БИ, N 16.

5. А.с. СССР N 1377963, H 02 K 1/10, 1988, БИ, N 8.

6. А.с. СССР N 1758779 A1, H 02 K 13/14, 1992, БИ, N 32.

7. Битюцкий И.Б. Новый подход к расчету реактивной ЭДС машины постоянного тока //Электромеханика, 1987, N 7. С. 41 - 47 (Изв. высш. учеб. заведений).

8. Битюцкий И.Б. К расчету реактивной ЭДС коммутации //Электромеханика, 1990, N 5. С. 34 - 39. (Изв. высш. учеб. заведений).

9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967, с. 22 - 24.